用一条曲线描述执行时间，会把超时概率低估多少倍？

双峰执行时间下，2 万次抽样实测 1.0% 的拍超过周期；用一条对数正态拟合只有 0.17%（低估 6 倍），把最高 1% 当离群点剔掉再拟合只剩 0.029%（低估 35 倍）。

执行时间往往不是一个峰，而是两个：多数拍走快路径，少数拍走慢路径。用一条曲线去拟合整体，会把这个慢路径当成噪声抹平。实测：2 万次抽样中 194 次超过 100 µs（1.0%），单成分拟合给出 0.17%；把最高 1% 当"离群点"剔掉再拟合，只剩 0.029%——低估 35 倍。

现象

工程上描述执行时间，常用三个数之一：平均值、最大值、或者"看起来像对数正态的一条曲线"。三个都不够。

更糟的是"清洗数据"的习惯：看到少数特别大的点，判定为"测量异常"直接删掉。而在双峰分布里，那些点正是尾部本体。

原因

① 双峰来自路径，不来自噪声。 慢路径通常对应可解释的原因：走了某个分支、发生了一次缓存缺失、总线被 DMA 占用、中断嵌套多一层。它们不服从快速路径的分布，所以单成分拟合必然失真。

② 剔除"离群点"等于删掉证据。 本文实验里慢路径占 1%，恰好落在很多人"剔除前 1%"的经验阈值上——于是被删掉的比例正好等于需要观察的比例。剔除后 σ 从 0.1715 降到 0.1490，尾部概率从 0.17% 掉到 0.029%。

③ 最大值随样本量增长。 同一分布下：

p99 稳定在 240 µs 附近，最大值却翻了近三倍。"我测到的最大值是 339 µs"这句话，只说明你测了 1000 次。

④ 要看见罕见的拍，需要足够多的样本。 若超时概率是 p，要 95% 概率至少看到一次，样本量约为 3/p。p=1% 时只需约 294 次；但 p=1e-6 时需要约 300 万次——这通常不现实，所以必须靠尾部模型，而不是靠"多跑几遍"。

怎么做

第一步：先看直方图，别急着拟合。 对数横轴上的直方图能直接暴露双峰；线性横轴会把慢路径压成看不见的一小撮。

第二步：按路径分组，而不是按数值分组。 若慢路径对应某个分支，就分别统计两组的分布；这比拟合混合模型更可靠，也更容易解释。

第三步：报告"样本量 + 观测到的次数"，不要只报概率。

import math
import numpy as np

T, P_SLOW = 100e-6, 0.01
FAST, SLOW, SIG = 60e-6, 140e-6, 0.15

def p_over(median, sigma, thr=T):
    z = (math.log(thr) - math.log(median)) / (sigma * math.sqrt(2))
    return 0.5 * (1 - math.erf(z))

rng = np.random.default_rng(20261029)
N = 20000
slow = rng.random(N) < P_SLOW
x = np.where(slow, SLOW, FAST) * np.exp(rng.normal(0, SIG, N))
print("实测超时比例 %.4f（%d/%d）" % ((x > T).mean(), (x > T).sum(), N))

lg = np.log(x)
print("全样本拟合  P=%.4g（σ=%.4f）"
      % (p_over(math.exp(lg.mean()), lg.std(ddof=1)), lg.std(ddof=1)))

keep = x <= np.quantile(x, 0.99)
lg2 = np.log(x[keep])
print("剔除前 1%%  P=%.4g（σ=%.4f）"
      % (p_over(math.exp(lg2.mean()), lg2.std(ddof=1)), lg2.std(ddof=1)))

验证

同一次抽样（N=20000，随机种子固定），三种处理方式的结果：

改前剔掉前 1% 再拟合 → 改后保留全部样本并分组统计：超时概率从 0.029% 修正到 1.0%，两句话描述的完全是两个系统。

边界

• 本文的分布是人造的（99% 快路径 + 1% 慢路径），用来演示方法失效的机制，不是任何真实硬件的测量结果。
• 剔除离群点在有些场合是合法的：已确认的仪表毛刺、通信重传导致的重复采样。但前提是有独立证据说明它是测量问题，而不是因为"它太大"。
• 极端值不能外推：从 2 万样本估计 1e-6 的概率，误差会大到没有意义；需要极值理论或按路径建模，并且结论要标成"模型推断"。
• 分位数本身也有不确定性（样本少时尤其大），报告分位数时应同时给样本量。
• 温度、电压、中断负载会改变分布形状，跨工况不能直接套用。

最后验证于 2026-10-29 · 数值实验（Python 3.13 + NumPy，随机种子 20261029，N=20000）· 99% 快路径（中位 60 µs）+ 1% 慢路径（中位 140 µs），σ=0.15 · 模型 v1.0

用一条曲线描述执行时间，会把超时概率低估多少倍？