三个 10 ns 的抖动加起来，是 30 ns 还是 17 ns？

三个互不相关的 ±10 ns 抖动：线性相加得 30 ns，峰值平方和开根得 17.3 ns，真实标准差只有 10 ns。三个数都对，取决于问的是最坏值、峰值包络还是 σ——混用会让预算差三倍。

同一个系统，三个 ±10 ns 的独立抖动源，能算出三个不同的合计数：最坏情况 30 ns、峰值 RSS 17.3 ns、标准差 10 ns。 它们不是互相矛盾的答案，而是三个不同的问题。麻烦在于，大部分抖动预算表没有写清楚自己在回答哪一个。

现象

两份看起来都很专业的抖动预算，对同一套硬件给出相差三倍的结论：

如果最后要用"峰峰值不超过 X ns"去验收，用第三个数就会翻车；如果用第二个数去算丢拍概率，又会算错——因为它既不是 σ，也不是严格的最坏值。

原因

关键在于区分两件事：随机量能不能相加，以及你报的是哪个统计量。

① 方差可加，幅度不可加。 对独立随机量：

Var(X1 + X2 + X3) = Var(X1) + Var(X2) + Var(X3)

所以合成后的标准差是 √(σ₁² + σ₂² + σ₃²)，不是 σ₁+σ₂+σ₃。

② 均匀分布的最坏值与 σ 的关系是固定的。 单个 ±a 的均匀分布，σ = a/√3：

单个 ±10 ns：σ = 10/√3 ≈ 5.77 ns，最坏 10 ns（= √3·σ）
三个独立：  σ = √(3 × 5.77²) = 10 ns，最坏 30 ns（= 3σ）

这就解释了为什么"线性相加 30 ns"和"σ 合成 10 ns"能在同一个系统里同时成立：30 ns 恰好是 3σ。

③ 相关时不能平方和开根。 如果三个环节的抖动来自同一个时钟（同一晶振、同一 PLL），它们会同向变化，方差不能按独立处理，必须按线性相加。用 RSS 去算同源抖动，会得到过于乐观的数。

怎么做

第一步：给每个源贴两个标签——是否同源、量级多少。

第二步：按标签选合成方式。

import math

# 三个 ±10ns 的独立均匀源
a = 10.0
sigma_one = a / math.sqrt(3)          # 单源 σ ≈ 5.77 ns

worst_linear = 3 * a                    # 最坏：线性相加
peak_rss = math.sqrt(3 * a * a)         # 峰值 RSS（把峰值当分量）
sigma_sum = math.sqrt(3) * sigma_one    # σ 合成（方差可加）

print("线性最坏 %.1f ns / 峰值RSS %.1f ns / σ %.1f ns"
      % (worst_linear, peak_rss, sigma_sum))
print("3σ = %.1f ns（与线性最坏一致）" % (3 * sigma_sum))

第三步：在预算表里写清口径。 一行三列：峰值、σ、以及"这一行是否与上一行同源"。验收用峰值，概率估算用 σ，两者不能互换。

验证

数值实验：独立抽样三个均匀分布（各 ±10 ns）共 40 万次，与解析值对照：

两点读法：仿真最大值 29.64 ns 逼近但不超过 30 ns，说明"最坏 = 3σ"在这个分布下是硬上界；而 17.3 ns 这个数既不是 σ 也不是上界，它是把峰值当分量做平方和的结果，只适合"多项峰值同时出现的概率很低"这种经验假设。

改前线性相加 30 ns → 改后方差合成 σ=10 ns：同一批数据，只是换了个问题——这就是为什么预算表必须写口径。

边界

• 平方和开根只在各分量统计独立（或至少不相关）时成立。同源时钟、共享总线、共用电源的抖动必须按相关处理，否则结果偏乐观。
• 均匀分布下"最坏 = 3σ"是个方便的关系，但不是普遍规律：高斯分布的最坏值无上界，只能给分位数；双峰分布的最坏值与 σ 没有固定比例。
• "峰值 RSS" 不是概率意义上的 σ，也不保证是上界。它能成立，依赖"各分量峰值不会同时出现"这个假设，而这需要证据。
• 系统性偏差（固定延迟、恒定偏移）不是抖动，不能进方差合成——它会整体平移，应该单独加。
• 本文数值是数值实验，用来演示合成规则；实际系统的分量要实测，且要检查它们之间是否真的独立。

最后验证于 2026-10-29 · 数值实验（Python 3.13，40 万次抽样）· 三个独立均匀分布 U(−10, +10) ns · 模型 v1.0

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